WolframAlpha Lexikon Formler Terminologi länkar Svenska matematiklänkar Math. Resources on the Internet Böcker

Gästbok
Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik
A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö     
Klicka på någon av bokstäverna
Nedladdning

Största gemensamma divisorn
Minsta gemensamma dividenden
Delbarhet - Multipel - Prefix

Aritmetik
Division
Multiplikation

Delbarhet

Ett tal som utan rest kan dela ett annat (d.v.s. som ger ett helt tal till kvot), sägs vara delare till (divisor till) detta tal.

Ett tal a är delbart med ett tal b om kvoten a/b är ett heltal.

Man säger då även att "b är delare till a"
eller att "b går upp i a"
eller att "b går jämnt upp i a"
eller att "a är en multipel av b"
Betecknas: b|a (b är delare till a) och ca (c är ej delare till a)

Delbarhetsregler för heltal

Det hela talet n är en delare (divisor) till det hela talet N om det finns ett heltal q, sådant att
      N = q · n ;
om detta gäller sägs N vara delbart med n.

Ett helt tal är delbart med
2, om sista siffran (entalet) är jämt eller 0.
3, om talets siffersumma är delbar med 3.
4, om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5, när sista siffran är 0 eller 5.
6, när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
7, när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
Ex.:392 är delbart med 7 (39-4=35)
8, när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
9, när talets siffersumma är delbar med 9.
10, när talets sista siffra är en nolla.
11, när summan av varannan siffra i talet (siffror med udda ordningsnummer: entalen, hundratalen, tiotusentalen osv.) minus summan av de övriga siffrorna (siffror med jämn ordningsnummer) är delbar med 11.
12, när villkoren för 3 och 4 båda är uppfyllda.
13, när antalet tiotal i talen plus fyra gånger sista siffran (antalet ental) är delbart med 13.
Ex.:6409 är delbart med 13 (640+36=676 67+24=91 9+4)

Resterna vid heltalsdivision

I modulär aritmetik räknar med med resterna vid division med ett heltal n.
Beteckningen a mod b betyder resten då a divideras med b.

Ex:
7 mod 5 = 2
16 mod 2 = 0
3 mod 7 = 3
-1 mod 3 = 2
- 7 mod 2 = 1

Kongruens modulo
Två hela tal a och b sägs vara kongruenta modulo m (skrivs a b mod m) om division med m ger samma rest. Exempelvis är 23 och 11 kongruenta modulo 6 eftersom både 23 och 11 ger resten 5 vid division med 6. Detta kan också uttryckas som att a - b är jämnt delbart med m, dvs. i exemplet att skillnaden 23 - 11 = 12 är jämnt delbar med 6. Om m = 2 är två tal kongruenta (modulo 2) om antingen båda är udda eller båda jämna.

Primtal

Ett naturligt tal (a > 1), som endast är delbart med sig själv (a) och enheten (1), kallas primtal.

Primtalen under 100 är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 och 97.

Ett helt tal som inte är primtal, kallas ett sammansatt tal och det kan uppdelas i primfaktorer.

Faktorisering av heltal

Varje (positivt) heltal kan skrivas som en produkt av primtal.
(t.ex. 12 = 2 · 2 · 3)

Faktorisering med hjälp av WolframAlpha på Intrnet: factor(486612)

JavaScript program för faktorisering av heltal
Ange talet:
Exemplar av primfaktorer med "Maxima" (gratis symbolhanterande programvara):
(%i5) factor(486612);
Result
(%i6) factor(486612+1);
Result

Uppdelning i primfaktorer används, när man ska bestämma minsta gemensamma multipeln och största gemensamma delaren.

Sörsta gemensamma delaren

Gemensam delare
Ett helt tal som utan rest dividerar två, eller flera hela tal, sägs vara en gemensam delare (gemensam divisor) till dessa tal.

Om t.ex. 5 är gemensam delare till 10 och 25

Tal som icke har någon gemensam delare (utom 1) kallas relativa primtal.

t.ex. 35 och 12 är relativt prima

Största gemensamma delaren (SGD) - (GCD - greatest common divisor) är den största av de gemensamma delarna.

Största gemensamma delaren är produkten av gemensamma primfaktorer i den högsta potens de ingår i alla givna talen.
t.ex. GCD(100,75)=25) eftersom     100=52·22 ,    75=52·3   och   25=52

Största gemensamma delaren med hjälp av WolframAlpha på Internet: gcd(100,25)

Euklides' algoritm
Största gemensamma delaren till två tal, t. ex. 693 och 147 kan bestämmas på följande sätt:
Man dividerar det största talet med det minsta:
693/147=4 med 105 i rest.
Det minsta talet divideras med den första resten:
147/105=1 med 42 i rest.
Första resten divideras med andra resten:
105/42=2 med 21 i rest.
Andra resten divideras med tredje resten:
42/21=2
Den sista rest man får är största gemensamma delare till talen. 21 alltså största gemensamma delare till 693 och 147.

Perfekt tal

Ett naturligt tal som är lika med summan av sina delare (inklusive 1, men exklusive talet självt). De fem första perfekta talen är 6, 28, 496, 8128, 33550336.

Till exempel är 28 ett perfekt tal eftersom 28=1+2+4+7+14.

Kedjebråk

Alla positiva tal kan skrivas som kedjebråk, dvs. på följande form:

t.ex.

Man skriver kortare: 4;122.
Talen 4, 1, 2 och 2 kallas kedjebråkets partialnämnare. 21 är den största gemensamma delare till 693 och 147.

Med Maxima (gratis symbolhanterande program) samma exempel:

(%i3) cf(693/147);
Result
(%i4) cfdisrep(%);
Result

Alla rationella tal kan framställas av ett ändligt, de irrationella talen av ett oändligt kedjebråk.

t.ex.:

Bråket (gyllene snitt) kan, eftersom det är en rot till ekvationen skrivas:

Multipel (mångdfald)

Om en given storhet (ett givet tal) mångdfäldigas (multipliceras) ett visst antal gånger, så sägs den erhållna produkten vara en mångfald (multipel) av den givna storheten (det givna talet).

Ett tal a sägs vara multipel (mångfald) av det talet b, om b är delare till a,
dvs. om det existerar ett heltal n, sådant att a = n · b.

T.ex. är 54 en multipel av 9 eftersom 54=6·9.

Minsta gemensamma multipeln

Ett tal, som har den egenskapen, att det är jämt delbart med vart och ett av flera andra givna tal, kallas dessa tals gemensamma mångfald (multipel) eller gemensamma dividend.

12, 24 och är jämt delbara med såväl 4 som 6 och följaktligen är 12, 24 och 36 gemensamma dividender (multiplar) till 4 och 6.

Den minsta gemensamma multipeln (MGM) eller minsta gemensamma dividend (LCM - least common multiple)
är den minsta av de gemensamma multiplerna.

Minsta gemensamma multipel är produkten av alla primfaktorer i den högsta potens de ingår i de givna talen.

T.ex. LCM(16,12)=48
      16 = 24     12 = 3 · 22     48 = 3 · 24

Minsta gemensamma multipel med hjälp av WolframAlpha på Internet: lcm(16,12)

Minsta gemensamma nämnaren

Gemensam nämnare
Till två eller flera bråk, ett heltal eller polynom som är delbart med var och en av nämnarna i de olika bråken, dvs. en gemensam multipel till nämnarna.

Till exempel har bråken den gemensamma nämnaren 30; de har också 60, 90 etc som gemensamma nämnare. De två bråken   och har den gemensamma nämnaren 2(x+1)(x-1)(x-2); en annan gemensam nämnare är 2(x+1)2(x-1)(x-2). Bråk med samma nämnare kan adderas genom att man helt enkelt adderar täljarna och behåller nämnaren oförändrad.

Den minsta gemensamma nämnaren till ett antal bråk är den minsta gemensamma multipeln till deras nämnare.

Multipelprefix

Talfaktor Prefix Exampel
Benämning Beteckning
1024 yotta Y    
1021 zetta Z    
1018 exa E 1 exajoule 1 EJ
1015 peta P 1 petameter 1 Pm
1012 tera T 1 terajoule 1 TJ
109 giga G 1 gigawatt 1 GW
106 mega M 1 megavolt 1 MV
103 kilo k 1 kilometer 1 km
102 hekto h 1 hektogram 1 hg
101 deka da 1 dekalumen 1 dalm
10-1 deci d 1 decimeter 1 dm
10-2 centi c 1 centimeter 1 cm
10-3 milli m 1 milligram 1 mg
10-6 mikro μ 1 mikrometer 1 μm
10-9 nano n 1 nanohenry 1 nH
10-12 piko p 1 pikofarad 1 pF
10-15 femto f 1 femtometer 1 fm
10-18 atto a 1 attosekund 1 as
10-21 zepto z    
10-24 yokto y    


av Bruno Kevius
All kopiering tillåten!   
Matematiklexikon:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y z Ä Ö
Klicka på någon av bokstäverna
   Svenska Matematiklänkar